इकाई का अंक | Unit Digit | Complete Notes with Short Trick | अति महत्वपूर्ण तथ्य | अभ्यास प्रश्न | Quiz

 

इकाई का अंक कैसे ज्ञात करें? (Unit Digit Tricks in Number System)

संख्या पद्धति (Number System) गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे RPSC, UPSC, RSSB, SSC,  Railway, Banking आदि में इकाई का अंक (Unit Digit) से संबंधित प्रश्न बार-बार पूछे जाते हैं। यदि आपको इकाई अंक निकालने के नियम और pattern पता हों, तो बड़े से बड़े प्रश्न कुछ ही सेकंड में हल किए जा सकते हैं।

इकाई अंक क्या होता है?

किसी भी संख्या का सबसे दाईं ओर का अंक (Rightmost Digit) उसका इकाई अंक कहलाता है।

उदाहरण:

• 457 का इकाई अंक = 7
• 9823 का इकाई अंक = 3
• 1245 का इकाई अंक = 5

इकाई अंक निकालने का मूल नियम

यदि किसी संख्या की घात (Power) दी हो, तो हमें पूरी संख्या देखने की जरूरत नहीं होती। केवल उस संख्या के अंतिम अंक को देखकर ही इकाई अंक निकाला जा सकता है।

उदाहरण:

• 23² → केवल 3² देखें
• 47³ → केवल 7³ देखें

Unit Digit Pattern Table

आधार इकाई अंक	इकाई अंक का चक्र (Power 1,2,3,4)
2	2, 4, 8, 6
3	3, 9, 7, 1
4	4, 6
7	7, 9, 3, 1
8	8, 4, 2, 6
9	9, 1

Pattern के महत्वपूर्ण नियम

• 2, 3, 7, 8 → 4 का cycle
• 4, 9 → 2 का cycle
• 0, 1, 5, 6 → हमेशा same रहते हैं

Remainder Method (शेषफल विधि)

जब power बहुत बड़ी हो, तब power को cycle length से divide करते हैं।

उदाहरण: 7⁸ का इकाई अंक ज्ञात करें।

7 का pattern = 7, 9, 3, 1 (cycle = 4)

8 ÷ 4 = शेषफल 0

शेषफल 0 होने पर cycle का last number लेते हैं।

अतः इकाई अंक = 1

Fixed Numbers (स्थिर इकाई अंक)

संख्या	इकाई अंक
0	0
1	1
5	5
6	6

इन संख्याओं की power कुछ भी हो, इकाई अंक हमेशा same रहता है।

जोड़ (Addition) में इकाई अंक

पहले हर संख्या का इकाई अंक निकालें, फिर जोड़ करें।

उदाहरण:

(23² + 17³)

3² = 9;   7³ = 3

9 + 3 = 12

अतः इकाई अंक = 2

घटाव (Subtraction) में इकाई अंक

पहले इकाई अंक निकालें, फिर घटाव करें। यदि उत्तर negative आए तो +10 करें।

उदाहरण:

(32³ – 18²)

2³ = 8;   8² = 4

8 – 4 = 4

अतः इकाई अंक = 4

गुणा (Multiplication) में इकाई अंक

केवल इकाई अंक को multiply करें।

उदाहरण:

23 × 47

3 × 7 = 21

अतः इकाई अंक = 1

Mixed Expression (मिश्रित प्रश्न)

BODMAS नियम का पालन करें।

उदाहरण:

(7² × 3³ + 5⁴)

7² = 9 3³ = 7

9 × 7 = 63 → इकाई अंक = 3

5⁴ = 5

3 + 5 = 8

अतः इकाई अंक = 8

Zero Power Rule

a⁰ = 1 (जहाँ a ≠ 0)

उदाहरण: 7⁰ = 1

Special Cases

• 0ⁿ = 0
• 1ⁿ = 1
• 5ⁿ = 5
• 6ⁿ = 6

इकाई अंक (Unit Digit) के नियम – प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए अति महत्वपूर्ण तथ्य

इकाई अंक (Unit Digit) किसी संख्या का सबसे दाईं ओर का अंक होता है।

उदाहरण:

• 457 का इकाई अंक = 7
• 892 का इकाई अंक = 2

इकाई अंक के मूल नियम

1. किसी संख्या का इकाई अंक केवल उसके अंतिम अंक पर निर्भर करता है।
   उदाहरण: 357 × 892 → केवल 7 और 2 देखेंगे।
2. गुणा में इकाई अंक निकालने के लिए केवल अंतिम अंक गुणा करें।
   उदाहरण: 37 × 42 → 7 × 2 = 14 → इकाई अंक = 4
3. घात वाले प्रश्नों में इकाई अंक एक पैटर्न में दोहराते हैं।

महत्वपूर्ण पैटर्न (बहुत महत्वपूर्ण)

1. 1 का पैटर्न
   1¹ = 1
   1² = 1
   1³ = 1
   इकाई अंक हमेशा 1
2. 2 का पैटर्न
   2¹ = 2
   2² = 4
   2³ = 8
   2⁴ = 16
   इकाई अंक पैटर्न = 2, 4, 8, 6
3. 3 का पैटर्न
   3¹ = 3
   3² = 9
   3³ = 27
   3⁴ = 81
   इकाई अंक पैटर्न = 3, 9, 7, 1
4. 4 का पैटर्न
   4¹ = 4
   4² = 16
   4³ = 64
   4⁴ = 256
   इकाई अंक पैटर्न = 4, 6
5. 5 का पैटर्न
   5¹ = 5
   5² = 25
   इकाई अंक हमेशा 5
6. 6 का पैटर्न
   6¹ = 6
   6² = 36
   इकाई अंक हमेशा 6
7. 7 का पैटर्न
   7¹ = 7
   7² = 49
   7³ = 343
   7⁴ = 2401
   इकाई अंक पैटर्न = 7, 9, 3, 1
8. 8 का पैटर्न
   8¹ = 8
   8² = 64
   8³ = 512
   8⁴ = 4096
   इकाई अंक पैटर्न = 8, 4, 2, 6
9. 9 का पैटर्न
   9¹ = 9
   9² = 81
   9³ = 729
   9⁴ = 6561
   इकाई अंक पैटर्न = 9, 1
10. 0 का पैटर्न
    0¹ = 0
    0² = 0
    इकाई अंक हमेशा 0

महत्वपूर्ण ट्रिक

1. इकाई अंक निकालते समय केवल अंतिम अंक देखें।
2. उदाहरण: 47² का इकाई अंक
   7² = 49
   अतः 47² का इकाई अंक = 9
3. उदाहरण: 63³ का इकाई अंक
   3³ = 27
   अतः 63³ का इकाई अंक = 7
4. उदाहरण: 89² का इकाई अंक
   9² = 81
   अतः 89² का इकाई अंक = 1

पैटर्न की लंबाई

• 2, 3, 7, 8 का पैटर्न 4 का चक्र बनाता है।
• 4 और 9 का पैटर्न 2 का चक्र बनाता है।
• 1, 5, 6 का पैटर्न 1 का चक्र बनाता है।

उदाहरण

1. 2²⁰ का इकाई अंक
   20 ÷ 4 = शेष 0
   पैटर्न का चौथा अंक = 6
   अतः इकाई अंक = 6
2. 3¹⁷ का इकाई अंक
   17 ÷ 4 = शेष 1
   पैटर्न का पहला अंक = 3
   अतः इकाई अंक = 3
3. 7¹⁰ का इकाई अंक
   10 ÷ 4 = शेष 2
   पैटर्न का दूसरा अंक = 9
   अतः इकाई अंक = 9

अन्य महत्वपूर्ण तथ्य

• इकाई अंक कभी भी 10 से बड़ा नहीं होता।
• इकाई अंक हमेशा 0 से 9 के बीच होता है।
• इकाई अंक का उपयोग बड़ी घातों को जल्दी हल करने में होता है।
• इकाई अंक प्रतियोगी परीक्षाओं में बहुत महत्वपूर्ण विषय है।
• इकाई अंक निकालने के लिए पैटर्न याद रखना जरूरी है।
• इकाई अंक से घातांक के प्रश्न जल्दी हल होते हैं।
• इकाई अंक से गुणा के बड़े प्रश्न आसान हो जाते हैं।
• इकाई अंक निकालने के लिए पूरा नंबर नहीं देखना पड़ता। केवल अंतिम अंक देखकर उत्तर निकाला जा सकता है।

Unit Digit Online Test

Time: 10:00

निष्कर्ष (Conclusion)

इकाई अंक निकालना बहुत आसान है यदि आपको number pattern और remainder method समझ में आ जाए। यह टॉपिक लगभग हर competitive exam में पूछा जाता है। इसलिए इसे अच्छी तरह practice करें और pattern को याद रखें। नियमित अभ्यास से आप इन प्रश्नों को कुछ ही सेकंड में हल कर सकते हैं।

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