LCM और HCF क्या है? आसान तरीका + उदाहरण

प्रस्तावना (Overview)

  विभिन्न प्रतियोगिता परीक्षाओं मे चयन के लिए गणित के अति महत्वपूर्ण विषय हैं | गणित के एप्टीट्यूड सेक्शन का मूलभूत टॉपिक हैं LCM और HCF जो कि पूरी अंकगणित की नींव हैं | ये समय बचाने वाली शॉर्ट ट्रिक्स प्रदान करते हैं ताकि एक्यूरसी (accuracy) के साथ परीक्षा मेन अंक भार बढ़ाने मे महत्वपूर्ण भूमिका अदा करता है ताकि अपना चयन सुनिश्चित हो सके | Railway exam, SSC exam, बैंकिंग, RSSB, RPSC  जैसी परीक्षाओं में अक्सर अनुपात, भिन्न, आयु, गति-समय और संख्या-विभाजन पर आधारित प्रश्न आते हैं। इस पोस्ट में हम step-by-step आसान तरीका सीखेंगे, जिससे कोई भी अभ्यर्थी जल्दी समझ सके।

LCM और HCF की परिभाषा

LCM (लघुत्तम समापवर्त्य):

 दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे छोटा गुणज (multiple) होता है जो उन सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाता है |

LCM दी गई संख्याओं के समूह मे वह सबसे बड़ी संख्या होती हैं जिसमे सभी संख्याओं का भाग जाता हैं | 

HCF (महत्तम समापवर्तक):

 दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा गुणनखंड (factor) है, जो उन सभी संख्याओं को बिना कोई शेषफल दिये पूरी तरह विभाजित कर सकता है. 

HCF  दी गई संख्याओं के समूह मे सबसे छोटी संख्या होती हैं जो सभी संख्याओं को पूर्णत: विभाजित करें |

LCM और HCF निकालने के आसान तरीके

LCM कैसे ज्ञात करें (मुख्य विधियाँ):

1. गुणज सूची विधि (Listing Method): 

• विधि: दी गई संख्याओं के गुणज (multiples) लिखें और उनमें सबसे छोटा समान गुणज (common multiple) ज्ञात करें।

• उदाहरण ( 4 और 9 का LCM):
• 4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …….
• 9 के गुणज: 9, 18, 27, 36, 45, 54, …………
• अत: 4 व 9 का LCM = 36 होगा । 

2. अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method): 

• विधि: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें। फिर सभी अभाज्य गुणनखंडों को उनकी उच्चतम घात (highest power) के साथ गुणा करें।

• उदाहरण (225  और 625 का LCM):
• 225 = 3 x 3 x 5 x 5 = 3² x 5²
• 625 = 5 x 5 x 5 x 5 = 5⁴  
• अत: 225 व 625 का LCM = 3² x 5⁴ = 5625 होगा

3. विभाजन विधि (Division Method): 

• विधि: सभी संख्याओं को एक साथ लिखें और उन्हें सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दें। प्रक्रिया तब तक दोहराएँ जब तक कि सभी संख्याएँ 1 न हो जाएँ। भाजकों (divisors) का गुणनफल ही LCM होता है।

• उदाहरण (6, 15, 27 का LCM):
• 2 | 6, 15, 27
• 2 | 3, 15, 27
• 3 | 1, 5, 9
• 3 | 1, 5, 3
• 3 | 1, 5, 1
• 5 | 1, 1, 1
• LCM = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = 540

HCF को कैसे समझें (मुख्य विधियाँ):

1. अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method): 

1. गुणनखंड (Factors) निकालें: सबसे पहले, दी गई सभी संख्याओं का गुणन खण्ड ज्ञात करें |
2. उभयनिष्ठ गुणनखंड (Common Factors) की पहचाने करें : उन गुणनखंडों को देखें जो सभी संख्याओं में समान हैं |
3. सभी उभयनिष्ठ गुणन खण्डों को परस्पर गुणा करें : वही HCF (महत्तम समापवर्तक) होता है |

उदाहरण: 45 और 63 का HCF

• 45 के गुणनखंड: 3 x 3 x 5
• 63 के गुणनखंड: 3 x 3 x 7  
• उभयनिष्ठ गुणनखंड: 3 x 3
• अत: 45 और 63 का HCF = 1 x 3 x 3 = 9 है | 

इसे GCD (Greatest Common Divisor) भी कहते हैं

2॰ भाग विधि (Division method)

  उदाहरण – Step 1 63÷45; भागफल = 1; शेशफल = 18

           Step 2 45÷18;  भागफल = 2; शेशफल = 9

           Step 3 18÷9; भागफल = 2; शेशफल = 0

          अत: 45 और 63 का HCF =  9

यह प्रक्रिया तब तक दौहरानी है जब तक शेषफल 0 नही आ जाये | जब शेषफल 0 आता है उस समय भाजक ही दी गई संख्याओं का HCF होगा |

तीन संख्याओं के समूह में पहले दो संख्याओं का HCF ज्ञात करते हैं फिर इस HCF व तीसरी संख्या के साथ उपरोक्त विधि का दोहरान करते हैं और अंत में जब शेषफल 0 आता है उस समय भाजक ही दी गई संख्याओं का HCF होगा |

उदाहरण

क्र॰ सं॰	प्रश्न	भाग विधि	गुणन खण्ड विधि
1	36 और 60	60 ÷ 36 = 1 शेष =24 36 ÷ 24 = 1 शेष =12 24 ÷ 12 = 2 शेष =0 HCF  = 12	36 = 2²×3², 60 = 2²×3×5 HCF = 2²×3 =12, LCM = 2²×3²×5=180
2	56 और 98	98 ÷ 56=1 शेष=42 56 ÷42=1 शेष=14 42 ÷14=3 शेष=0 HCF = 14	56=2³×7, 98=2×7² HCF=2×7=14, LCM=2³×7²=392
3	90 और 150	150 ÷90=1 शेष=60 90 ÷60=1 शेष=30 60 ÷30=2 शेष=0 HCF = 30	90=2×3²×5, 150=2×3×5² HCF=2×3×5=30, LCM=2×3²×5²=450
4	20, 30, 50	20,30 → HCF=10; 10,50 → HCF=10 LCM(20,30)=60; LCM(60,50)=300	20=2²×5, 30=2×3×5, 50=2×5² HCF=2×5=10 LCM=2²×3×5²=300
5	12, 18, 24	12,18 → HCF=6; 6,24 → HCF=6 LCM(12,18)=36; LCM(36,24)=72	12=2²×3, 18=2×3², 24=2³×3 HCF=2×3=6 LCM=2³×3²=72

 

 

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